Acabo de presenciar la demostración de:

Si f es continua sobre [a,b], entonces es integrable sobre [a,b]

Es de mis nuevas demostraciones favoritas. Básicamente demuestra que la derivada de la función definida por la integral inferior es igual a la derivada de la función definida por la integral superior. Como sus derivadas son iguales, las  funciones sólo varían por una constante, pero inmediatamente se sigue que esta constante resulta ser cero, así pues, la integral inferior es igual a la integral superior. Pero si ocurre esto, significa que la función es integrable (pues el ínfimo de las sumas superiores es igual al supremo de las sumas inferiores).

El hecho de que la demostración incluya una derivada para demostrar algo de ese calibre sigue sorprendiéndome. Es una de las aplicaciones más elegantes de la derivada  que he visto.

De mis demostraciones preferidas.